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27 octobre 2010 : Critères de correction du maillage

Lorsqu'on modélise un dispositif, la qualité du maillage influe sur 3 paramètres :

• La précision des résultats : plus le maillage est fin, plus la solution calculée sera proche de la solution exacte
• Les temps de calculs : ils sont proportionnels à N fois le nombre de noeud avec N un paramètres dépendant du dispositif étudié
• La convergence : lorsque le maillage est mal distribué, la méthode de résolution itérative peut ne pas converger vers la solution

Pour un dispositif donné, il est difficile de trouver un maillage satisfaisant ces 3 paramètres et il faut se contenter le plus souvent d'un compromis. Toutefois certains critères de correction du maillage semble plus performants que d'autres. Depuis 3 ans plusieurs études ont été menées dans des domaines tels que la mécanique ou l'éléctromagnétisme.

Je propose dans ce document 3 méthodes empiriques adaptées aux équations de poisson, de transport et de piégeage des charges dans les semiconducteurs. Ce sujet est vaste et fera certainement l'objet d'un développement dans le futur, si je parviens à y consacrer du temps ...

Exemple pour une jonction pn

Les graphiques qui suivent présentent les maillages obtenus pour la jonction pn présentée en exemple dans 2D->homojonction->pn pour les 3 critères de correction du maillage.

Paramètres utilisés et maillages obtenus

	Ancien critère "Critère 1"	Critère basé sur des interpolations polynomiale "Critère2"	Critère basé sur la variation de la dérivée "Critère 3"
Taille minimum arète	10-2 µm	10-2 µm	10-2 µm
Taille maximum arète	6 µm	6 µm	6 µm
Précision espace	0.11	0.012	0.1
Nombre noeuds pour Vanode=-1V	972	933	958
Nombre noeuds pour Vanode=+1V	2283	1351	1371

Distribution du potentiel pour V_anode=-1V

Distribution des densités d'électrons pour V_anode=-1V, échelle logarithmique

Distribution des densités de trous pour V_anode=-1V, échelle logarithmique

Distribution du potentiel pour V_anode=+1V

Distribution des densités d'électrons pour V_anode=+1V, échelle logarithmique

Distribution des densités de trous pour V_anode=+1V, échelle logarithmique

Il faut noter que pour ces modélisations, le relachement du maillage n'est pas encore en service ce qui peut fausser les résultats.
Toutefois il ressort que la diode modélisée avec le critère 1 termine l'étape à V_anode=+1V avec un nombre de noeuds significativement plus élevé qu'avec les 2 autres critères. Par ailleurs ces noeuds supplémentaires sont concentrés dans une zone où Psi, n et p varient peu et ne contribuent pas à la précision des calculs.

On remarque également que les maillages réalisés avec le critère 1 évoluent brutalement de grands éléments vers de petits éléments. Or les changements de taille importants entre mailles voisines peuvent générer lors de la résolution un système matriciel linéaire mal conditionné et provoquer des problèmes de convergence.

Exemple pour un transistor MOS n à déplétion

Les graphiques qui suivent présentent les maillages obtenus pour le transistor MOS n à déplétion présentée en exemple dans 2D->heterojonction->mos_n_depletion pour les 3 critères de correction du maillage.

Paramètres utilisés et maillages obtenus

	Ancien critère "Critère 1"	Critère basé sur des interpolations polynomiale "Critère2"	Critère basé sur la variation de la dérivée "Critère 3"
Taille minimum arète	10-4 µm	10-4 µm	10-4 µm
Taille maximum arète	0.1 µm	0.1 µm	0.1 µm
Précision espace	0.11	0.015	0.1
Nombre noeuds pour Vanode=-1V	1220	1208	1225
Nombre noeuds pour Vanode=+1V	3091	1836	2921

Distribution du potentiel pour V_grille=0V

Distribution des densités de d'électrons pour V_grille=0V

Distribution des densités de trous pour V_grille=0V

Distribution du potentiel pour V_grille=-5V

Distribution des densités de d'électrons pour V_grille=-5V

Distribution des densités de trous pour V_grille=-5V

On observe sur ces 3 derniers résultats (malgré des défauts de couleur ...) une forte accumulation de trous au voisinage de l'oxyde de grille lorsque V_grille=-5V.
Le critère 2 ne raffine pas le maillage dans cette zone et l'ensemble de cette distribution de trous est représentée sur un seul élement, alors que les critères 1 et 3 raffinent correctement le maillage dans cette zone.
Ceci explique les différences de densité maximale de trous calculées par les critères 1 et 3 (1.97 10¹⁸ cm^-3) et celui calculé par le critère 2 (4.63 10¹⁷ cm^-3)
Le critère 2 donne visiblement un résultat peu précis lorsque ce type d'accumulation apparaît.

Pour conclure, E.CO.R.C.E. utilise maintenant un critère de correction du maillage qui procure une meilleure convergence et des résultats plus précis pour les dispositifs étudiés.
Mais le sujet est vaste et il faudra probablement y revenir à l'occasion de l'étude de nouveaux dispositifs et/où de l'ajout de nouvelles équations.

Cette meilleure convergence m'a permis de modéliser des composants interdits auparavants. La méthode de Newton fonctionne maintenant parfaitement pour ces dispositifs, mais j'ai noté quelques problèmes avec la méthode de résolution du système linéaire (bibliothèque Sparse, méthode bICGSTAB).
De nouvelles bibliothèques permettant de résoudre les systèmes linéaires sont apparues récemment dont la très prometteuse bibliothèque Eigen. Elle est malheureusement encore expérimentale pour les matrices creuses (stockage sparse) mais j'envisage de la tester dès qu'elle sera opérationnelle.

Alain